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标题: 圆柱螺旋线与圆柱波浪线方程的推导 [打印本页]

作者: zhg.x 时间: 2013-9-24 10:21
标题: 圆柱螺旋线与圆柱波浪线方程的推导
本帖最后由灯具小翔于 2013-10-17 14:48 编辑

      SW自09版本以来就有显性方程了，这也算是个老话题了，唯一很遗憾的是SW目前还不支持封闭曲线。小翔才疏学浅，只会推导一些简单的方程，希望能给学习方程的人带来帮助。
      之所以把圆柱螺旋线和圆柱波浪线（其实应该叫做柱面余弦线）放在一起讨论，是因为这2个曲线有个共同的地方，就是他们在俯视图上的投影都是一个圆。
      圆柱螺旋线：定义：一动点M沿圆柱的母线作等速直线运动，而该母线又绕圆柱的轴线作等角速度旋转时，点M的运动轨迹
就是圆柱螺旋线。
      参数方程；Xt=a*cos(t)
                        Yt=a*sin(t)
                        Zt=P*t/2*pi
其中：a为圆柱面的半径，P为螺旋线的螺距。
我相信X（t）和Y（t）大家都不难理解，就是一个圆的标准方程，关键这个Z（t）的方程，下面就来推导：
首先大家要知道，螺旋线的展开其实就是一条直线，它可以看做以圆柱底面周长为一条直角边，螺距为高的直角三角形的斜边，
[attach]1181739[/attach]
那么这条斜线的斜率就是p/pi*d，也就是这条斜线的方程是：Z=p/pi*d*L（类似初中的y=k*x)
大家要注意的是，此时的自变量是L（弧长），而我们现在的参数方程是Z(t)，自变量是t，
所以只需将L转化成t就OK，
由于在一个圆中，2*pi弧度对应的弧长就是直径pi*d，所以：t/2*pi=L/pi*d，
L=t*d/2,代入到Z=p/pi*d*(t*d/2)=p*t/2*pi
到此就已经OK了。
         圆柱波浪线：Xt=a*cos(t)
                              Yt=a*sin(t)
                              Zt=A*cos(N*t)
a为圆柱半径，A为振幅，N为波段数
我们先来看个例子：
[attach]1181740[/attach]
大家可以看出，我们Z(高度）与弧长L的关系是一段余弦曲线，所以Z=A*cos(w*L)注意：此时的自变量是L弧长。
我们给出的余弦线的周期是pi*d/N=pi*d/6，
由于T=2*pi/w，所以w=2*N/d，那么Z=A*cos(2*N/d*L)，
又回到上面那个转换关系，只需L转换成t，t/2*pi=L/pi*d
L=t*d/2，所以Z=A*cos(2*N/d*(t*d)/2)=A*cos(N*t)及现在的自变量又为t了。
说明：以上所有涉及圆周率都是写成了SW认可的pi。
         以上所有的方程都不需要什么高=数学，都是一些三角函数变化。
         以上内容均是原创，若有不对，请大家包涵并予以指正，欢迎大家讨论。

作者: lwp2015 时间: 2016-4-28 11:09
支持老大发教程，学习了。

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