SOLIDWORKS的3d参数方程式曲线

只看该作者 · 发表于 2010-3-5 23:05:01

本帖以下的内容试图对三维的参数方程式曲线的构建方法做一简单的讲解，内容原创，有问题请不吝指出。本文开思首发，转发请注明出处。

看到有不少网友说“不懂”方程式曲线，本文就试着从一些基本的概念开始。涉及的基本知识限于基本的空间解析几何的内容。 SOLIDWORKS 和UG都仅支持笛卡尔坐标系的曲线方程式的生成，破衣则还支持柱状坐标系即我们常说的极坐标系和球面坐标系的参数方程式曲线，有些曲线的方程式在后两种坐标系里面的方程式很简洁且易于理解和构建，但是一般来说实际的用处不大（反正我是不知道那些曲线能干什么

。）因此本文只会探讨笛卡尔坐标系下参数方程式曲线的一些规律。笛卡尔坐标系，就是我们常说的平面直角坐标系，这种坐标系可以构建的曲线可以满足我们大部分的需求。笛卡尔坐标系因解析几何的开创者法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔而得名。
平面直角坐标系是这样建立的，先确定原点，然后根据右手定则建立通过原点的相互垂直的X、Y、Z轴。在平面直角坐标系中用（x，y，z）的形式（x，y，z均为实数）表示空间中的每个点，x，y，z分别为该点向X、Y、Z轴投影垂足的对应向量值，如下图所示：

X,Y所在的平面称为xy平面，依此类推可以定义yz、zx平面。根据此定义易知，点P（x，y，z）在三个坐标轴的投影分别为Px（x，0，0），Py（0，y，0），Pz（0，0，z）。

类似的P（x，y，z）在xy、yz、zx平面的投影点依次为Pxy（x，y，0），Pyz（0，y，z），Pzx（x，0，z）。

参数方程式曲线的定义是这样做出的，若已知一条空间曲线的三个坐标x，y，z相对于第四个变量t的函数关系式：x=Fx(t) ,y=Fy(t) ,z=Fz(t) ,则可以做出一条空间参数方程式曲线L。
根据这些定义，我们就可以得到构建参数方程式曲线的第一条规律。

本帖最后由学者丁于 2010-3-7 07:51 编辑

只看该作者 · 发表于 2010-3-5 23:34:23

我提到的第一种构建空间曲线的方法就是通过投影曲线来生成空间曲线的方法，如下图：

例子可见我之前的一个帖子：sw作参数方程曲线

一般的规律：对于参数方程曲线L：x=Fx(t) ,y=Fy(t) ,z=Fz(t)，其在xy平面上的投影曲线的方程式为Lxy：x=Fx(t) ,y=Fy(t) ,z=0；类似的可得Lyz：x=0 ,y=Fy(t) ,z=Fz(t)，而其逆定理成立即曲线Lxy，Lyz空间相交（使用SW的投影曲线的草图上草图来实现，如图）得到的曲线就是L：x=Fx(t) ,y=Fy(t) ,z=Fz(t) 。

本帖最后由学者丁于 2010-3-5 23:42 编辑

只看该作者 · 发表于 2010-3-21 15:39:26

当然了，之前的题目是如何做二维的参数方程式曲线，而显然根据这种规律是可以做出一般三维参数方程式曲线的。不过，这种办法比较麻烦，而且并不适用于所有的三维参数方程式曲线。之所以将其作为第一个规律放在这里，仅仅是由于它对于理解一般的平面直角坐标系的基本性质有帮助。如果软件已经可以直接做参数方程式曲线，比如SW2010里面，这样的方法被使用的机会几乎没有。

第二种构建空间参数方程式曲线的方法，也是求参数方程式的一般方法就是解析法了，下面将以渐开线为例，讲述这个方法的使用。

只看该作者 · 发表于 2010-3-21 17:06:54

这里讲一下解析法，这种方法是很一般的方法。你驾驭这种方法的能力取决于你对问题的理解深度及你的空间解析几何的功力了。
使用解析法，首先是把问题用平面图形或者立体图形反应出来，第一步是建立合适的平面直角坐标系。如下图：

在一般的参数方程式里面，参变量都用 t 来代替，我想这多半是由于它和时间的关联吧。但是这样的理解有时对解决问题没有帮助（也有有用的时候），那么建立参数方程式的第一步就是确定参变量t是什么。

渐开线，就是在平面上一直线绕一定圆做纯滚动时直线上的定点的轨迹线。本例中是点P(x，y)，本例中确定参数t就是图中D2。由于纯滚动的性质图中的圆弧和直线长度相等。这样根据上图很容易得出：

x=D4=D6+D7=D1×COS(t)+s×SIN(t)=50×COS(t)+50×t×SIN(t)
y=D3=D5-D8=D1×SIN(t)-s×COS(t)=50×SIN(t)-50×t×COS(t)

0<t<2*pi

请注意，在SW中默认是使用弧度作为方程式里面出现的角的单位的，这和ug及pro/e是不同的。

只看该作者 · 发表于 2010-3-25 17:16:07

可以参数化设计了吗？我们还在用2008哦。

只看该作者 · 发表于 2010-3-25 17:16:16

可以参数化设计了吗？我们还在用2008哦。

只看该作者 · 发表于 2010-3-25 19:56:41

26# kennethli

SW的参数曲线却并不支持参数化设计呀。

只看该作者 · 发表于 2010-3-28 13:16:40

无法画出圆锥对数螺旋曲线，比如混凝土搅拌车罐体中螺旋叶片的三维造型，就需要用到极坐标。希望solidworks2011中对公式曲线进一步增强。

本帖最后由 zzj92 于 2010-3-28 13:20 编辑

只看该作者 · 发表于 2010-3-28 15:14:59

zzj92 发表于 2010-3-28 13:16
无法画出圆锥对数螺旋曲线，比如混凝土搅拌车罐体中螺旋叶片的三维造型，就需要用到极坐标。希望solidworks2011中对公式曲线进一步增强。

对数螺旋线用SW2010可以画呀。极坐标可以很容易地转换为直角坐标的。

只看该作者 · 发表于 2010-3-28 16:08:58

一般的，对于极坐标参数方程式：

r=r(t)

θ=θ(t)

可以转化为x=r(t)cos(θ(t))
y=r(t)sin(θ(t))

这样就可以在SW中构建了。

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