【原创】【讨论】怎样的多边形才能组成球体!

只看该作者 · 发表于 2002-8-21 20:52:16

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关于用多边形围成一个球形的讨论我在各个论坛上看了不少了,但很多因为缺乏理论的支持而虚耗工夫.
1.什么样的正多边形才能围成正多面体?
  根距欧拉定理:一个正多面体的边,面,顶点具有如下关系.
   点数+面数-边数=2
  而一个多面体的一个顶点处的各个面的夹角和要小于360度(画一下图就明白了),而一个定点出最少要三

个多边形,所以可知除了三角形外,便只有四边形和五边形有可能了(90*3=270<360,108*3=324<360)
i)暂不讨论三角形
  我们假设由k个正n边形组成正多面体,则有

每个定点重复三次,每条边重复算了两次)
   (n*k)/3+k-(n*k)/2=2 ===> (6-n)*k=12
  n=4时k=6这是个正方体; n=5时k=12是个正十二面体.
ii)对三角形
   假设有k个正三角形组成多面体,每个顶点有m个三角形,
   (3*k)/m+k-(3*k)/2=2 ===>(6-m)*k=4*m
m=3时k=4是正四面体,m=4时k=8是正八面体,m=5时k=20是正二十面体.
所以正多面体只有正三叫形组成的正4,8,20面体,正四边形组成的正6面体和正五边形组成的正十二面体

.

2.对于两个不同的正多边形来组成一个球
根据顶点的角度和可一确定只有以下的各种可能:
i) 一个六边两个五边(336<360).
假设有k个五边形,因为这样的话每个五边形周围有五个六边形,而每个六边形周围只有三个五边形,所

以可知应有5*k/3个六边形.
[(k*5)+5*k/3*6]/3+(k+5*k/3)-[(k*5)+5*k/3*6]/2=2
==>k=12
所以有12个五边形和12*5/3=20个六边形,正好是足球!
ii)一个五边两个六边(348<360)
很显然不行,(五是单数)
iii).......大家慢慢组合吧,只需按这两个原则!

还请各位指正!