有限元计算最单元的选取

在使用有限元程序进行结构分析时，强调单元要有相同的自由度（DOF）数目和类型，例如有相同数目和类型的位移自由度，自由度之间必须相互覆盖，即在相连的单元表面必须连续，导致有限元分析中单元连取的一种错误倾向，如对一个结构统一用块体元来模拟。实际工程中，组合应用了梁，板壳，块体等元素，若用同一类单元来进行有限元分析时，可能导致单元划分过多，计算精度反而较差的后果，本文采用耦合和约束方程的方法，为应用不同类单元来模拟组合结构提供了一条有效的途径，协调了不同类单元之间的自由度，使计算经济、精确。
1   单元选取的准则
工程结构主要有杆、梁、板、壳、索、膜、块体等构件有机组成，在工程设计中，确定这些构件的三维几何尺寸，就要进行结构受力分析，而结构受力分析有静力分析，动力特性和响应分析，稳定屈曲分析，有限变形分析，非线性分析，结构极限承载力分析等等。采用有限元程序进行这些分析时，就必须选择合适的单元来模拟结构的各个组成部份，单元的选取应符合工程实际情况，由力学和有限元理论可知，单元的选取应遵循下列准则：
1.1 单元的选取应与实际结构物的受力特征和几何特征相符
    在有限元程序中，工程结构计算模型可以是二维的，也可以是三维的。可用点单元、线单元、面单元、实体单元及其组合来对其进行划分。从结构几何特征和受力特征考虑，单元选取过程中应考虑下表所示准则。
   
表1   考虑几何维数和受力特征时选取单元准则
单元  使用准则  通用程序单元
杆单元(spar)  几何特征：纵向尺寸远比横向尺寸大荷载形式：只受轴向的拉压  LINK系列
梁单元(beam)  几何特征：纵向尺寸远比横向尺寸大荷载形式：作用线垂直于轴线的平衡力系(包括力偶)、轴向的拉压  Beam系列
板壳元(shell)  几何特征：厚度比长度和宽度小荷载形式：外力是作用在面内的纵向和垂直于中面的横向荷载  Shell系列
实体单元(solid)  几何特征：长、宽、厚三个尺寸大小相仿荷载形式：外力作用在任一面内。  Solid系列
平面单元(plane)  几何特征：很薄的等厚度板和很长的柱形体(平面应力问题和平面应变问题)荷载形式：受平行于板面并且不沿厚度变化的面力和体力，平行于横截面且不沿长度变化的面力和体力。 &nbsplane系列
索单元(slack)  几何特征：纵向尺寸远比横向尺寸大荷载形式：只受轴拉不受轴压  Link10
膜单元(membrane)  几何特征：厚度远远小于长度和宽度荷载形式：只承受垂直于膜面的横向荷载  部份Shell单元
弹簧单元(spring)  结构常用的弹簧连接，弹性支座，弹性地基  Combine系列
刚域单元(rigid)  没有几何参数的要求，只传递外荷载，不发生形变。  Mpc184
   
1.2 线性单元和高次单元的选取，应与计算所要求的精度和实体结构的曲率相符
1.2.1 线性单元
对结构进行有限元分析时，采用线性单元往往会在合理的计算时间内取得精确结果，在设计计算过程中应尽可能用线性单元。但要注意单元在关键区域的退化，即避免在结果梯度很大或其它关注的区域使用二维三角形线形单元或四面体三维线性单元。还应避免过分扭曲的单元。对弯曲壳体进行分析时，须采用弯曲(二次)或平面(线性)的壳单元，若采用平面单元，必需保征使用足够的平面单元来创建壳面，单元越小，计算准确性越好，但计算成本相应提高。推荐三维平面壳单元延伸不要超过15度的弧，圆锥壳单元应限制在10度以内。若采用二次单元，不应把单元划分的过小，以防计算成本过高[4]。
1.2.2 高次单元
在使用有限元进行结构分析时，采用二次单元通常会比线性单元的求解费用低且产生良好的计算结果，但应注意到它们的特殊性质：对于分布荷载和面压力不像线性单元按一般意义上分配到节点上，单元的中间结点对反力也表现出相同的非直观解释，当直接在节点上加载时，对此要小心慎重；缩减分析时，由于中间节点的质量大于角节点的质量，通常将中间节点选为主自由度；在分析由波传播的动力学时，不宜使用二次单元；在接触表面或间隙部位不要定义二次单元；当在单元边(或面)上定义自由度约束时，所有在边上的节点，包括角节点和中节点，都应受到约束；单元的角节点只能与角节点相连，一般不能与相邻单元的中节点相连，相邻的单元应该有相连的公共中间节点。对混用二次单元，可能需从一个单元中删除中间节点。采用高阶单元进行分析是提高精度的好途径，但是高阶单元在某些情况下也会出现减切锁死，并且很难发现。故在计算分析时，应先采用线性单元试算，然后用高次的单元进行精确分析。
1.3 考虑结构的复杂性,选取不同类单元的组合
进行组合结构分析时，考虑到结构的复杂性，有时要选取不同类单元的组合(如杆单元和梁单元、壳体单元和块体单元以及杆、梁、壳、块体等单元的组合)来模拟实际工程。混用不同类单元时，尽可能采用同次单元来进行组合，如采用8节点等参块体单元和4节点的壳体单元，20节点的块体单元和8节点的壳体单元进行组合。
单元选取是一个实际操作性很强的问题，应综合考虑所分析问题的特殊性（如接触分析、耦合场分析等等）和单元的特殊性(如行特征值屈曲分析时，由于是线性行为，不能用非线性单元，有些单元不支持单元生与死，有些单元只能进行非线性分析等等)。慎重的选取合适的单元，是正确而又经济的进行结构分析关键之一。
2   不同类单元之间的连接
    选取不同类单元的组合来进行结构分析时，单元之间可能具有不同的自由度，所以其连接时，可能不会正确的传递力、力矩或其他自由度值。但在实际情工程工，经常出现一些梁、板、壳以及块体的组合结构，在对它们进有限元分析时，务必处理好自由度之间的相互协调，使不同类的单元协调的连接起来，有效进行结构分析。